→ Was
sind Zahlensysteme?
→ Anwendung
des Hornerschemas
→ Umwandlung
Binär ↔ Hexadezimal
→ Umwandlung
von "Kommazahlen" (b-adischen Brüchen)
→ Berechnen
der Periodenlängen von Kommazahlen
Wähle die Zahlensysteme und gib in eines der Textfelder eine Zahl im
zugehörigen gewählten System ein. Im anderen Textfeld erscheint die Zahl in das
andere System umgerechnet.
Bei Wahl eines anderen Zahlensystems wird das
zugehörige Textfeld entsprechend neu berechnet, nicht die Zahl zur Berechnung
des anderen Feldes uminterpretiert.
Kleiner Mathematikerwitz
Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden?
Antwort: Weil 31(oct) = 25(dez)
Wir rechnen im Alltag mit dem Dezimalsystem (lat. decimus, der Zehnte) und verwenden dabei die zehn Ziffern 0, 1, ... 9. Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab, die erste 3 in 373 hat z.B. einen anderen Wert als die zweite 3, nämlich dreihundert und nicht drei. Im Dezimalsystem entspricht jeder Stelle eine Potenz der Basis 10: 100=1, 101=10, 102=100 usw.
Nach dieser Art kann man auch Zahlensysteme erzeugen, die eine andere Basis besitzen als 10. Jede Stelle steht für ein Vielfaches der entsprechenden Potenz der Basis, und der Ziffernvorrat ist stets 0 bis Basis-1. Das System zur Basis 2 hat damit nur die beiden Ziffern 0 und 1. Da "0 und 1" auch für "ja oder nein" oder "an oder aus" oder "Strom oder nicht-Strom" stehen kann, ist dies das Zahlensystem, in denen eigentlich Computer "rechnen" und Daten speichern: Die kleinste Informationseinheit, das Bit, ist gerade die Information über die beiden Möglichkeiten 1 oder 0.
Ebenfalls in der Computertechnik gebräuchlich ist das Hexadezimalsystem, das
Zahlensystem mit der Basis 16. Da nur 10 Zahlenzeichen zur Verfügung stehen,
verwendet man die ersten sechs Buchstaben des Alphabets für die Zahlen 10 bis
15.
Die Standardeinheit der Informationsgröße ist ein Byte, das sind
(In dezimaler Darstellung: 0, 1, 2, ... bis 255, im
Binärsystem: 00000000, 00000001, 00000010, ... bis 11111111.)
Diese Einheit
läßt sich mit dem 16er-System viel besser handhaben als mit dem Dezimalsystem,
denn 256 ist gerade 162. Somit entsprechen in einer Hexadezimalzahl
immer genau zwei Ziffern einem Byte.
Das Umrechnen erfolgt in diesem Javascript stets über das
Dezimalsystem. d.h. die Quellzahl wird zunächst in das Dezimalssystem und erst
dann in das Zielsystem umgewandelt. Wenn die eine Basis eine Potenz der anderen
darstellt, geht es auch einfacher (siehe nächster Abschnitt)! Um Details über
das Verfahren zu erfahren, wähle in den Listenfelden zwei verschiedene Systeme
und gib in eines der beiden Textfelder eine Zahl im entsprechendenen System
ein. Dann klicke auf den Button [ Wie geht das? ], und im großen
Textfeld wird eine genaue Erklärung angezeigt, wie die Zahl umgewandelt
wurde.
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Jeweils 4 Binärstellen entsprechen einer Hexadezimalstelle, denn
Vom Binär- ins Hexadezimalsystem:
Unterteile die Binärzahl von
rechts nach links in 4er-Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender
Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um.
Vom Hexadezimal- ins Binärsystem:
Wandle die Hexadezimalziffern der
Reihe nach in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um.
Beispiele:
49A02(16) = 0100 1001
1010 0000 0010(2) = 1001001101000000010(2)
10010110101011(2) = 0010 0101 1010 1011(2) =
25AB(16)
Noch ein Witz (?)
Es gibt 10 Gruppen von Menschen: diejenigen, die das Binärsystem verstehen, und die anderen.
Das Stellenwertsystem läßt sich rechts vom Komma logisch fortsetzen: Die
erste Stelle nach dem Komma repräsentiert die Vielfachen von
Bei der Zahl 0,632
sitzt die 6 auf der Zehntelstelle, die 3 auf der Hunderstelstelle und die 2 auf
der Tausendstelstelle. Ein Zehntel ist 10-1, ein Hundertstel
10-2 usw.
Wenn z1, z2, z3, ... die Nachkommaziffern einer Zahl zur Basis b sind, so errechnet sich der Wert durch die Summe
z1 z2 z3 zn
——— + ——— + ——— + ... + ———
b1 b2 b3 bn
Der Hauptnenner aller Brüche ist bn. Durch Erweitern ergibt sich der Algorithmus, der im obigen Script zur Umrechnung ins Dezimalsystem verwendet und anhand der interaktiven Beispiele erläutert wird:
bn-1·z1 + bn-2·z2 + bn-3·z3 + ... + zn
= ———————————————————————————————————
bn
Beispiel:
Die Binärzahl 0,1011 entspricht der Summe der
Brüche
1 0 1 1 8·1 + 0 + 2·1 + 1 8 + 2 + 1 11 ——— + ——— + ——— + ———— = ————————————————————————— = ——————————— = ———— = 0,6875(10) 2 4 8 16 16 16 16
Die strenge Analogie zwischen der Umwandlung von ganzzahligen und gebrochenen Teilen läßt sich gut bei den interaktiven Erläuterungen zum Rechner oben auf dieser Seite sehen.
Die Umwandlung von Dezimalbrüchen in andere Zahlensysteme ("b-adische Brüche") weist ebenfalls Analogien zur Umwandlung der Ganzzahlen auf. Dem Teilen mit Rest durch die Basis bei den Ganzzahlen entspricht hier das Multiplizieren mit der Basis und das Abtrennen des ganzzahligen Teils.
Es folgt ein Zahlenbeispiel zur Umwandlung eines Dezimalbruchs in die Basis
5.
In positiven Dezimalzahlen
Bei der Multiplikation des Dezimalbruchs 0,78 mit 5 erhält man 3,9. In 0,78 sind also drei Fünftel (=0,6) ganz enthalten. Schneidet man nun die 3 von 3,9 ab, so bleibt ein Rest kleiner 1, der sich wiederum aus Vielfachen von 1/5, 1/25, 1/125, 1/625 usw. zusammensetzt. Da die 3,9 jedoch bereits durch Multiplikation mit 5 entstanden ist und durch "Abschneiden" der 3 bereits die Vielfachen der 1/5 gestrichen wurden, ergibt der analoge nächste Schritt, mit dem Rest 0,9 durchgeführt, bereits die in 0,78 enthaltenen Vielfachen von 1/25, der übernächste die Vielfachen von 1/125 usw.:
0,9·5 = 4,5 --> Vier Fünfundzwanzigstel, Rest 0,5
0,5·5 = 2,5 -->
Zwei Einhundertfünfundzwanzigstel, Rest 0,5
0,5·5 = 2,5 --> Zwei
Sechshundertfünfundzwanzigstel, Rest 0,5
usw. --> Periode 2.
Damit ergibt sich:
3 4 2 2 2 —
0,78(10) = ——— + ———— + ————— + ————— + —————— + ... = 0,342(5)
5 25 125 625 3125
Version: 28. 10. 2006
© Arndt
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