Das Binärsystem

Was ist das Binärsystem?

Wir verwenden normalerweise Zahlen, die sich aus den Ziffern 0-9 zusammensetzen. Nach der 9 kommt beim "Hochzählen" dieser Stelle wieder die 0 und die nächst höhere Stelle wird um eins hochgezählt. Zum Beispiel kommt nach der Zahl 3019 die Zahl 3020. Auf der Einerstelle wurde aus der 9 eine 0, und auf der Zehnerstelle wurde aus der 1 eine 2.
Nach der 1999 kommt die 2000: Hier pflanzt sich der Wechsel sozusagen von der Einerstelle bis zur Tausenderstelle fort.

Da ab 10 und jedem Zehnfachen (100, 1000...) eine neue Stelle angefangen wird, heißt unser Zahlensystem Zehnersystem oder Dezimalsystem.

Im Binärsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Nach der 1 kommt wieder die 0, und gleichzeitig wird auch hier die nächste Stelle um eins hochgezählt. Nach der 10000 (lies: "Eins-Null-Null-Null-Null", nicht "Zehntausend") kommt die 10001 und danach die 10010. Aus der 1 auf der letzten Stelle ist die Null geworden, und dafür wurde aus der 0 auf der zweiten Stelle von rechts die 1.

Auch hier pflanzen sie diese Wechsel unter Umständen über viele Stellen fort, was sogar sehr häufig vorkommt: Beispielsweise kommt nach der 1101001111 die 1101010000.

Es entsteht also folgende Reihe von Binärzahlen: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001 ...

Beim "Gegenüberstellen" der zusammengehörigen Zahlen des Dezimalsystems und des Binärsystems entdeckt man verschiedene Regeln:

Dezimal- Binärsystem

Beobachtungen:

  • Auf der letzten Stelle wechseln die Ziffern jedesmal von 0 auf 1 und zurück.
  • Auf der 2. Stelle von rechts wechseln die Ziffern jedes zweite Mal.
  • Auf der 3. Stelle von rechts wechseln die Ziffern jedes vierte Mal.
  • Auf der 4. Stelle von rechts wechseln die Ziffern jedes achte Mal.

  • usw.

  • Neue Stellen werden zum ersten Mal besetzt bei 1, 2, 4, 8, 16, 32 ...
    jede dieser Zahlen ist das Doppelte ihres Vorgängers. Daher nennt man dieses Zahlensystem auch Zweiersystem oder Binärsystem.
    Die erste Stelle von rechts ist die Einerstelle, die zweite von rechts die Zweierstelle, die dritte von rechts die Viererstelle, die vierte von rechts die Achterstelle usw.

    Am besten stellt man sich Binärzahlen in eine solche Stellenwerttabelle eingetragen vor:

    Binärzahl   1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
    1011011
    		         1 0 1 1 0 1 1
    1011101001
    		   1 0 1 1 1 0 1 0 0 1
    110010010
    		     1 1 0 0 1 0 0 1 0
    10000100000
    		 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Beim Umwandeln von Zahlen aus dem Binärsystem in das Dezimalsystem wird stellenweise geschaut, ob auf der Stelle (z.B. auf der Viererstelle) eine 1 sitzt. Wenn ja, wird der Wert der Stelle (im Beispiel: 4) aufaddiert.

Beispiel:
(Die kleine 2 hinten rechts an der Zahl bedeutet: "Diese Zahl ist eine Binär-Zahl")

10110112

Die Einsen sitzen auf der Einer-, der Zweier-, der Achter-, der Sechzehner- und der 64er-Stelle. (Siehe auch erstes Beispiel in der Tabelle)

64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 91

Daher gilt: 10110112 = 9110


Beim Umwandeln vom Dezimal- in das Binärsystem geht man umgekehrt vor:
Man setzt die Dezimalzahl durch Addieren mit den passenden Stellen des Binärsystems zusammen und findet so die zugehörige Binärzahl.

Beispiele:

  • 2010 = 16 + 4 = 101002  (Bei dieser Binärzahl sind 16er- und 4er-Stelle besetzt!)
  • 1310 = 8 + 4 + 1 = 11012
  • 30010 = 256 + 32 + 8 + 4 = 1001011002
  • 200010 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 = 111110100002

Man geht dabei am besten so vor:
Die Dezimalzahl 300 soll ins Binärsystem umgewandelt werden.

  1. Suche die größte Stelle des Binärsystems, die in die Zahl hineinpaßt.
    Es ist die 256. Dort schreibe eine 1 in die Stellentafel.
  2. Berechne, was von 300 übrigbleibt, wenn man 256 abzieht. Es ist 44.
  3. Fahre mit der 44 so fort, d.h. suche wieder die größte hineinpassende Binärstelle, schreibe dort eine 1 in die Tabelle und ziehe die Stelle von der 44 ab. Wiederhole, bis nichts mehr übrigbleibt:
    • In die 44 paßt die 32. Rest: 12
    • In die 12 paßt die 8. Rest: 4
    • Die 4 ist selbst eine Binärstelle. Rest: 0

    Also sind mit einer Eins besetzt: die 256er-, die 32er-, die 8er- und die 4er-Stelle.
    Die übrigen Stellen füllt man mit Nullen:

    Dezimalzahl    Binärzahl  512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
    300 =  100101100   1 0 0 1 0 1 1 0 0