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Parabel durch drei Punkte finden

Gerade durch zwei Punkte finden

Zu zwei gegebenen Punkten soll eine Gerade gefunden werden, die durch die Punkte geht. Die Gerade wird beschrieben durch eine lineare Funktion  f(x) = mx + b. Unbekannt sind m und b dieser Funktion.

Man findet m und b, indem man die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt. Dadurch erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen, mit dem man m und b ermitteln kann.

Beispiel:
geg.: A(-5|7), B(7|-8)
ges.: Funktion f(x) = mx + b durch A und B

Punkt A liegt auf f, deshalb: f(-5) = 7 = m·(-5) + b = -5m + b
Punkt B liegt auf f, deshalb: f(7) = -8 = m·7 + b = 7m + b

Das Gleichungssystem wird aufgeschrieben und gelöst:

	-5m + b = 7
	7m + b = -8

   I nach b auflösen und in II einsetzen:
       
      I:    -5m + b = 7         | +5m
      I':   b = 5m + 7

    in II:  7m + 5m + 7 = -8    | -7
            12m = -15           | :12
            m = -1,25

    in I':  b = 5(-1,25) + 7 = 0,75

Somit ist die gesuchte Funktion: f(x) = -1,25x + 0,75

Etwas schneller geht es mit dem Additionsverfahren:

   II:      7m + b =  -8
  - I:      5m - b =  -7
           —————————————
 II+(-I):  12m     = -15
            usw.

Interaktive Beispiele / Rechner

Die Koordinaten der Punkte können als Bruch oder Dezimalzahl eingegeben werden. Bei periodische Kommazahlen vor der Periode ein p einfügen (z.B.: 0,1p6 für 0,16666666... = 1/6).
Hinweis: Das Programm behandelt Nullen ungeschickt, so daß überflüssige Summanden und Umformungen, wie + 0 oder -0·m, vorkommen können.

Formel

Das Lösen den Gleichungssystems für den allgemeinen Fall, d.h. für die beiden Punkte (x₁|y₁) und (x₂|y₂) führt auf eine direkte Formel für die Geradengleichung:

   II:     x2m  + b =  y2
 -  I:     x1m  + b =  y1
 ————————————————————————————————
 II-I:   (x2-x1)m   = y2-y1     | :(x2-x1)

                y2-y1
         m  =  ——————
                x2-x1
 
 In II:  
            y2-y1
         x2·————— + b =  y2
            x2-x1

                     y2-y1
         b = y2 - x2· ———— = y2 - m·x2
                     x2-x1

                              y2-y1              y2-y1
 ===>    f(x) = y = mx + b = ——————·x + y2 - x2· ————
                              x2-x1              x2-x1

                              y2-y1      x2y1-x1y2
                         y = ——————·x + ————————
                              x2-x1        x2-x1


   oder die sogenannte Zweipunkteform der Geradengleichung:

                        y2-y     y2-y1
                       —————— = ——————
                        x2-x     x2-x1

In analoger Weise findet man Parabeln durch drei gegebene Punkte (→ siehe hier) und allgemein Polynomfunktionen vom Grad n durch n+1 gegebene Punkte. Siehe auch →hier.

© Arndt Brünner, 8. 10. 2003
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Version: 25. 11. 2006