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→ Übungen zu linearen Gleichungen
Im Begriff Lineare Funktion stecken die beiden Begriffe linear und Funktion, die im folgenden zunächst erklärt werden. Wer schon Bescheid weiß, kann den Abschnitt überspringen und womöglich sofort zu den Übungen springen.
Standardschreibweise • Bedeutung der Parameter • Beispiele • Übungen
Eine Funktion ist eine Zuordnung. Durch eine festgelegte Regel wird einer Zahl eine andere zugeordnet. Dies ist ein wenig abstrakt formuliert. Aber es steckt viel weniger dahinter, als man befürchten kann: Die Regel sagt nämlich, wie man die zugeordnete Zahl ausrechnen kann.
Funktionen werden meist in dieser Art gegeben:
f(x) = 0,75x2 - 5x + 0,5
Der Name der Funktion ist f. Das eingeklammerte x nach dem Funktionsnamen
gibt an, mit welcher Variablen die Funktionsdefinition rechts vom
Gleichheitszeichen arbeitet. Genausogut könnte man dieselbe Funktion mit
Mit einer solchen Funktionsgleichung kann nun berechnet werden, welche
Zahlen einander zugeordnet werden. Man setzt eine Zahl für die Variable ein,
und zwar überall dort, wo die Variable im Funktionsterm vorkommt, berechnet
den Term, der jetzt nur noch aus Zahlen besteht, und erhält so die zugeordnete
Zahl, den Funktionswert der eingesetzten Zahl. Der Funktionswert von 4 ist zum
Beispiel:
So kann man (bei dieser Funktion) für jede beliebige Zahl einen Funktionswert berechnen.
Es gibt Funktionen, die nicht jeder Zahl einen Funktionswert
zuordnen, z.B. hat
Durch das Ausrechnen entstehen Wertepaare zwischen eingesetzter und ausgerechneter Zahl. Man kann so eine Wertetabelle erstellen und den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen. Die eingesetzten Werte entsprechen der horizontalen Koordinate und die ausgerechneten Funktionswerte der vertikalen Koordinate, also dem jeweiligen Abstand zur x-Achse. Jedem Wertepaar entspricht so ein Punkt im Koordinatensystem. Den oben berechneten Punkt (4|-7,5) trägt man ein, indem man vom Ursprung (Schnittpunkt der beiden Achsen) 4 Einheiten nach rechts geht und 7,5 nach unten ("-7,5 nach oben").
Der Funktionsgraph von f(x) = 0,75x2 - 5x + 0,5 sieht so aus: (Der Punkt (4|-7,5) ist rot markiert.)
Der Begriff linear leitet sich von lateinisch linea = "Leine, Schnur, Faden" ab. Der Graph einer solchen Funktion ist wie mit einer "gespannten Leine" gezeichnet, es ist also eine Gerade.
Wie muß nun ein Funktion beschaffen sein, daß der Funktionsgraph eine Gerade wird?
Wenn man die eingesetzten Werte mit gleichbleibenden Schritten erhöht (oder vermindert), müssen sich auch die Funktionswerte immer um gleichbleibende Schritte erhöhen (oder vermindern). Nur so ergibt sich ein absolut glatter "Kurven"-Verlauf.
Das ist immer genau dann der Fall, wenn im (vollständig vereinfachten) Funktionsterm das x nur ohne Exponent und nicht im Nenner vorkommt. Ein Faktor vor dem x gibt an, wie stark die Funktionswerte zunehmen, wenn x größer wird.
1. Beispiel: f(x) = 2x
Immer wenn sich das x um 1 erhöht, erhöhen sich
die Funktionswerte um 2, denn das x wird ja mit 2 multipliziert und jede
Änderung von x geht also doppelt in das Resultat ein:
2. Beispiel: f(x) = 3x - 5
Immer wenn sich das x um 1 erhöht, erhöhen
sich die Funktionswerte um 3, denn das x wird mit 3 multipliziert und jede
Änderung von x geht dreifach in das Resultat ein. Das ist auch so, wenn
jeweils 5 abgezogen wird:
3. Beispiel: f(x) = -1,5x + 7
Immer wenn sich das x um 1 erhöht,
vermindern sich die Funktionswerte um 1,5, denn das x wird im Funktionsterm
mit -1,5 multipliziert und jede Änderung von x sorgt dafür, daß sich das
Resultat um das Anderthalbfache der Änderung vermindert. Wieder ändert die
Addition von 7 nichts daran:
Man sieht also am Faktor vor dem x, wie stark sich die y-Werte verändern. Geht man im Graph einer linearen Funktion von einem beliebigen Punkt auf der Geraden um 1 nach rechts, so muß man um genau diesen Faktor nach oben gehen, um zum Graphen zurückzukehren. Falls der Faktor negativ ist, muß man nach unten gehen. Diese waagerechte und senkrechte Strecken ergeben zusammen mit dem Abschnitt der Geraden ein Dreieck, das man Steigungsdreieck nennt.
Den Faktor vor dem x nennt man dementsprechend Steigung. An ihm erkennt man, wie stark die Gerade steigt (oder fällt, falls er negativ ist).
Falls der Faktor 0 ist, d.h. wenn gar kein x vorkommt, so ist die Gerade genau horizontal. Das ist auch logisch, denn im Funktionsterm kommt gar kein x mehr vor, und beim Ausrechnen erhält man somit immer denselben Wert. Z.B. bei f(x) = -5 kommt immer -5 heraus, egal was man für x "einsetzt".
Die Standardschreibweise linearer Funktionen sieht wie die obigen Beispiele
aus. Nach dem x, vor dem ein Faktor oder nur ein Minus (-x für -1·x) stehen
kann, kommt nur noch ein Summand, der aus einer konstanten positiven oder
negativen Zahl besteht.
Man schreibt allgemein:
f(x) = m·x + b
m ist dabei die oben erwähnte Steigung und b der Summand. Beide Buchstaben stehen für konkrete Zahlen im Term und haben somit eine andere Bedeutung als das x!
Wenn man in den Term m·x + b für x Null einsetzt, so erhält man immer b, denn
Der Faktor vor dem x (in der allgemeinen Schreibweise das m), gibt die Steigung der Geraden an. Die einzelne Zahl, der Summand ohne x (in der Standardschreibweise das b), gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Zu jedem Beispiel gibt es einen Graphen, in dem jeweils Steigungsdreiecke eingezeichnet sind.
Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse bei -7. Die Steigung
der Geraden ist 3, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, erhöht sich y um 3. Zum
Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte. Man zeichnet also (0|-7),
den Schnittpunkt • mit der y-Achse,
ein, und findet einen weiteren Punkt •, indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein
paarmal um 1 nach rechts und um 3 nach oben geht.
Zum Beispiel um insgesamt
5 nach rechts und um insgesamt 15 (=3·5) nach oben. So kommt man zu (5|8).
f(x) = -x + 1
Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse bei +1. Die Steigung
der Geraden ist -1, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, vermindert sich y um 1.
Zum Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte. Man zeichnet (0|1),
den Schnittpunkt mit der y-Achse, ein und findet einen weiteren Punkt, indem man vom ersten Punkt aus
treppenweise ein paarmal um 1 nach rechts und um 1 nach unten geht.
Zum
Beispiel um insgesamt 7 nach rechts und insgesamt um 7 nach unten. So kommt man
zu (7|-6).
2
f(x) = — · x - 3,5
3
Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse bei -3,5. Die
Steigung der Geraden ist 2/3, d.h. immer wenn x um 1 größer wird, erhöht sich y
um 2/3. Man zeichnet wieder zunächst (0|-3,5), den
Schnittpunkt mit der y-Achse, ein.
Einen weiteren
Punkt findet man in diesem Fall (Bruch!) zweckmäßigerweise, indem man
vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 3 (=Nenner der Steigung) nach
rechts und um 2 (=Zähler der Steigung) nach oben geht. Z.B. um insgesamt 6 nach
rechts und insgesamt um 4 nach oben. So kommt man zu (6|0,5).
5
f(x) = - — · x
7
Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-Achse im Ursprung
(0|0), denn es fehlt der Summand b im Funktionsterm. Somit ist
b=0.
Die Steigung der Geraden ist -5/7, d.h. immer wenn x um 1 größer wird,
wird y um 5/7 kleiner. Man zeichnet zunächst im Ursprung
(0|0) den Schnittpunkt mit der y-Achse ein.
Einen weiteren
Punkt findet man in diesem Fall (Bruch) zweckmäßigerweise, indem man vom
ersten Punkt aus um 7 (=Nenner der Steigung) nach rechts und um 5 (=Betrag des
Zählers der Steigung) nach unten (negative Steigung) geht. So kommt man zu
(7|-5).
f(x) = 2,7
Der Graph dieser linearen Funktion verläuft horizontal, parallel zur x-Achse. Bei allen Werten für x ist der Funktionswert 2,7. Die Steigung ist m=0, und der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei b=2,7.
Hier kann ein Funktionsterm eingegeben werden. Nach Klicken auf die Schaltfläche wird die Funktion gezeichnet.
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Arndt Brünner, 17. 8. 2002
letzte Änderung: 6. 10. 2002