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Version mit Java-Applet
Nach dem von Carl Friedrich Gauß zuerst bewiesenen Fundamentalsatz der Algebra haben Polynome vom Grade n stets n Nullstellen innerhalb der Menge der komplexen Zahlen, die jedoch auch zusammenfallen können. Komplexe Nullstellen treten immer als zueinander konjugierte Paare auf, d.h. jeweils zwei von ihnen besitzen den gleichen reellen und einen nur im Vorzeichen unterschiedlichen imaginären Anteil.
Das Programm dieser Seite berechnet augenblicklich die Nullstellen von
Polynomen bis zum
Die x
-Koordinate der Gaußschen Zahlenebene entspricht dem reellen
Anteil der Zahl und die y
-Koordinate dem imaginären. Die reellen
Nullstellen liegen infolgedessen auf der x
-Achse (d.h. der reellen
Achse), und die graphische Darstellung ist stets symmetrisch zu dieser
Achse.
Der Darstellungsbereich wird entweder dynamisch angepaßt oder kann auf einen
Bereich fest eingestellt werden. Mit den [0]-Buttons können die Parameter auf
Null zurückgestellt werden. Mit dem Spurmodus können die Bahnen
der
Nullstellen sichtbar gemacht werden. (Im Spurmodus bleibt der Bereich immer
fest.) Außerdem können Kreise um den Nullpunkt durch die Nullstellen erzeugt
werden, um die Beträge der Zahlen vergleichen zu können. Einheitswurzeln liegen
ja z.B. alle auf dem Einheitskreis.
Optional kann der Verlauf der (komplexen) Newton-Nullstelleniteration
x→x-f(x)/f'(x) angezeigt werden. Konvergiert es gegen eine Nullstelle, kann
diese (und gegebenenfalls ihre komplex-konjugierte) per Mausklick
eliminiert
werden. (→ Polynomdivision durch (x-a) für die reelle
Nullstelle x=a bzw. für das komplexe Nullstellenpaar x=a±bî durch
(x²-2ax+a²+b²), das ist (x-a+bî)·(x-a-bî).)
Verläßt man mit der Maus
das Plotfenster, wird die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt,