άbersicht Matheseiten
Beweise fόr k=1 und k=2
Beweis fόr k=3
Summenformeln bis k=100
zurόck

 

Summenformeln

fόr die Summen 1k + 2k + ... + nk

k 1k + 2k + ... + nk =
1 

                                       n·(n + 1)                                      
                                      ———————————                                     
                                           2
2 

                                  n·(n + 1)·(2·n + 1)                                 
                                 —————————————————————                                
                                           6
3 
                                       2        2                                     
                                      n ·(n + 1)                                      
                                     —————————————                                    
                                           4
4 
                                                 2                                    
                         n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n  + 3·n - 1)                         
                        ——————————————————————————————————————                        
                                          30
5 
                              2        2     2                                        
                             n ·(n + 1) ·(2·n  + 2·n - 1)                             
                            ——————————————————————————————                            
                                          12
6 
                                             4      3                                
                     n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n  + 6·n  - 3·n + 1)                     
                    —————————————————————————————————————————————                    
                                          42
7 
                        2        2     4      3    2                                  
                       n ·(n + 1) ·(3·n  + 6·n  - n  - 4·n + 2)                       
                      ——————————————————————————————————————————                      
                                          24
8 
                                   6       5      4       3    2                      
           n·(n + 1)·(2·n + 1)·(5·n  + 15·n  + 5·n  - 15·n  - n  + 9·n - 3)           
          ——————————————————————————————————————————————————————————————————          
                                          90
9 
                 2        2   2              4      3    2                           
                n ·(n + 1) ·(n  + n - 1)·(2·n  + 4·n  - n  - 3·n + 3)                
               ———————————————————————————————————————————————————————               
                                          20
  10    
               2                        6      5      4       3      2               
   n·(n + 1)·(n  + n - 1)·(2·n + 1)·(3·n  + 9·n  + 2·n  - 11·n  + 3·n  + 10·n - 5)   
  —————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————  
                                          66

 

Wer die obigen Formeln anschaut, kann auf den Gedanken kommen, daί die Summe S(n,k):=1k+2k+...+nk stets durch ein Polynom vom Grade k+1 ausgedrόckt werden kann. Diese Vermutung lδίt sich beweisen (siehe →hier). Die Koeffizienten des Polynoms findet man όber ein Gleichungssystem

  a0 + a1 + a2 + ... + ak+1 = S(1,k) = 1k = 1
a0 + 2a1 + 22a2 + ... + 2k+1ak+1 = S(2,k) = 1k + 2k
a0 + 3a1 + 32a2 + ... + 3k+1ak+1 = S(2,k) = 1k + 2k
· · ·
a0 + ka1n + k2a2 + ... + kk+1ak+1 = S(k+1,k) = 1k + 2k + ... + (k+1)k
a0 + (k+1)a1n + (k+1)2a2 + ... + (k+1)k+1ak+1 = S(k+1,k) = 1k + 2k + ... + (k+1)k 		 

Hier ein interaktives Skript zum Berechnen der Koeffizienten bis k=12:
(Bei grφίeren k entstehen beim Lφsen des Gleichungssystems Zahlen >1015, die von Javascript nicht mehr genau verarbeitet werden kφnnen. Bei verfόgbarem Java bis k=100.)

k =               Zeilenumbruch            Potenzen mit ^            Keine Anzeige des Gleichungssystems T

 

© Arndt Brόnner 6. 2. 2005
Version: 3. 12. 2006