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Quadratische Funktion durch 3 Punkte finden
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Gleich zum Rechner
Auf dieser Seite wird beschrieben, wie man eine Parabel findet, die
durch drei gegebene Punkte geht. Am nebenstehenden Applet ist zu sehen,
daß durch drei Punkte mit verschiedenen x-Werten offensichtlich stets eine
Parabel gezeichnet werden kann (sofern die drei Punkte nicht auf einer
gemeinsamen Gerade liegen).
→Unten
befindet sich ein Rechner, der die Funktionsgleichung zu drei vorgebbaren
Punkten findet.
Gesucht ist eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² +
bx + c. Da f(x)=y ist, müssen die Koordinatenpaare jedes
gegebenen Punktes (x|y) die Funktionsgleichung erfüllen, d.h. (x|y)
= (x|f(x)). Wenn man die Koordinaten der drei Punkte nacheinander
in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man drei (lineare!) Gleichungen
mit jeweils drei Unbekannten (a, b und c), mithin ein lineares
Gleichungssystem, das nach den Unbekannten gelöst werden kann. |
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Die Punkte und der Darstellungsbereich
können mit der
Maus verschoben werden. | |
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Beispiel
geg.: A(-1|12), B(2|15), C(5|-18)
ges.: a, b, c ∈ R, so daß A, B und C auf y = ax² + bx + c liegen.
Setze die Koordinaten von A in die Funktion ein: 12 = a·(-1)² + b·(-1) + c
= a - b + c
" - " - " B " - " 15 = a·2² + b·2 + c
= 4a + 2b + c
" - " - " C " - " -18 = a·5² + b·5 + c
= 25a + 5b + c
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a - b + c = 12 |
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| 4a + 2b + c = 15 |
-4·I |
| 25a + 5b + c = -18 |
-25·I |
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a - b + c = 12 |
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| 6b - 3c = -33 |
:6 |
| 30b - 24c = -318 |
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a - b + c = 12 |
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+II |
| b - 0,5c = -5,5 |
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| 30b - 24c = -318 |
-30·II |
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a + 0,5c = 6,5 |
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| b - 0,5c = -5,5 |
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| -9c = -153 |
:(-9) |
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a + 0,5c = 6,5 |
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-0,5·III |
| b - 0,5c = -5,5 |
+0,5·III |
| c = 17 |
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a = -2 |
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| b = 3 |
| c = 17 |
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Ergibt: f(x) = -2x² + 3x + 17
Probe für Punkt A: -2·(-1)² + 3·(-1) + 17 = -2 - 3 + 17 = 12 OK
B: -2·2² + 3·2 + 17 = -8 + 6 + 17 = 15 OK
C: -2·5² + 3·5 + 17 = -50 + 15 + 17 = -18 OK
Löst man das Gleichungssystem für den allgemeinen Fall, also für
die Punkte P1(x1|y1),
P2(x2|y2) und
P3(x3|y3), so erhält man eine Formel für die
Koeffizienten:
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x1²a + x1b + c = y1 |
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:x1² |
| x2²a + x2b + c = y2 |
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| x3²a + x3b + c = y3 |
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a + x1/x1²·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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| x2²·a + x2·b + c = y2 |
-x2²·I |
| x3²·a + x3·b + c = y3 |
-x3²·I |
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a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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| (x2-x2²/x1)·b + (1-x2²/x1²)·c = y2-x2²y1/x1² |
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| (x3-x3²/x1)·b + (1-x3²/x1²)·c = y3-x3²y1/x1² |
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a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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| (x1x2-x2²)/x1·b + (x1²-x2²)/x1²·c = (x1²y2-x2²y1)/x1² |
·(x1/(x1x2-x2²) |
| (x1x3-x3²)/x1·b + (x1²-x3²)/x1²·c = (x1²y3-x3²y1)/x1² |
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a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1² |
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-1/x1·II |
| b + (x1²-x2²)/(x1²x2-x1x2²)·c = (x1²y2-x2²y1)/(x1²x2-x1x2²) |
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| (x1x3-x3²)/x1·b + (x1²-x3²)/x1²·c = (x1²y3-x3²y1)/x1² |
-(x1x3-x3²)/x1·II |
usw.
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a = (x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x3-x2)) |
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| b = (x1²(y2-y3)+x2²(y3-y1)+x3²(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)) |
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| c = (x1²(x2y3-x3y2)+x1(x3²y2-x2²y3)+x2x3y1(x2-x3))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)) |
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Mit den so gewonnenen Koeffizienten a, b und c stellt sich die Formel für die
x-Koordinate des Scheitelpunktes (siehe →hier)
so dar:
xS = (x2²(y3 - y1) -
x1²(y3 - y2) - x3²(y2 -
y1))/(2(x2(y3 - y1) -
x1(y3 - y2) - x3(y2 -
y1)))
Mit ihr ist es möglich, aufgrund dreier Punkte einer Parabel die Stelle ihres
Extremwerts (=Scheitelpunkt) direkt zu berechnen.
Ist der Abstand der x-Werte konstant d, und gilt
x1+d=x2=x3-d, so reduziert sich
dies zu:
xS = x2 + d/2·(y3 -
y1)/(2y2 - y1 -
y3)
Beispiel: P1(-4|-2), P2(1|10),
P3(6|7), also ist d=5, und xS = x2 +
d/2·(y3 - y1)/(2y2 - y1 -
y3) = 1 + 2,5·(7 - (-2))/(20 - (-2) - 7) = 1 + 2,5·9/15 =
2,5