vor Multiplikation gegebenenfalls "über Kreuz" kürzen

Kürzen von Brüchen - Finden des ggT

Gib in die Felder links einen Bruch ein. Rechts erscheint er automatisch vollständig gekürzt. Wenn er nicht zu kürzen ist, erscheint der selbe Bruch auch rechts. (Falls sich die Felder rechts und unterhalb der Schaltfläche nicht automatisch ändern, bitte auf [=] klicken.)

Mit Klick auf [Erklären!] wird das Kürzen des eingegebenen Bruchs unten im großen Feld ausführlich erklärt. Außerdem wird anhand der eingegebenen Zahlen vorgeführt, wie man den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen findet (hier von Zähler und Nenner), den man zum vollständigen Kürzen benötigt.

Euklidischen Algorithmus ohne Division verwenden

Umwandeln von Dezimalzahlen in Brüche

Achtung: Ein einfacheres Verfahren wird weiter unten beschrieben. Es wurde von zwei Schülern entdeckt (7. Klasse!), ist leicht zu merken und kommt ohne Addition von Brüchen aus!

Herkömmliches Verfahren

Man wandelt nichtperiodische Dezimalzahlen (bzw. den nichtperiodischen Teil einer periodischen Dezimalzahl) folgendermaßen in einen Bruch um: Die Ziffern vor und nach dem Komma werden je nach Anzahl der Stellen nach dem Komma als Zehntel-, Hundertstel-, Tausendstelbruch ... geschrieben: bei einer Nachkommastelle als 10tel, bei zwei als Hundertstel, bei drei als Tausendstel usw., z.B. die Zahl 0,375 als 375 Tausendstel: 375/1000. Jetzt kann möglicherweise noch gekürzt werden, wobei als Teiler nur Vielfache der 2 und der 5 infrage kommen, denn die Zehnerpotenzen 10, 100, 1000, 10000... sind nur durch diese Primzahlen teilbar. (Im Beispiel kann mit 125 gekürzt werden: 0,375 = 375/1000 = 3/8.) Wie man kürzt, wird weiter oben auf dieser Seite erklärt. Übrigens haben im Zehnersystem alle Brüche eine Periode, wenn ihre Nenner außer Zweien und Fünfen noch mindestens einen anderen Primfaktor besitzen.
Wenn der Dezimalbruch eine Periode hat, empfiehlt sich das Kürzen an dieser Stelle nicht!

Der periodische Teil wird ebenfalls für sich in einen Bruch umgewandelt: Schreibe die Ziffern der Periode in den Zähler. Schreibe in den Nenner zuerst soviele Neunen, wie die Periode lang ist, und hänge dann soviele Nullen an, wie der nichtperiodische Teil lang ist. Dieser Bruch wird zum ersten addiert. Am Schluß wird gekürzt. Wie man Brüche addiert und kürzt, ist oben auf dieser Seite beschrieben. Eine Art mathematischer Beweis für das Funktionieren des Verfahrens mit den 9er-Nennern findet sich →weiter unten.

Gibin das Eingabefeld eine beliebige Kommazahl ein. Wenn die Zahl eine Periode haben soll, dann füge vor Beginn der Periode ein kleines p ein (z.B.: 0,15p47 für 1,154747474747...). Die Umwandlung in den Bruch wird schrittweise im unteren Feld vorgeführt. Bei den meisten Browsern geht das automatisch. Falls nichts angezeigt wird, auf die Schaltfläche klicken.

→ Umwandeln eines Bruches in einen Dezimalbruch durch Division
→ Berechnen der Periodenlänge

Zweites Verfahren, nur für periodische Brüche

Dieses Verfahren zum Umwandeln von periodischen Brüchen in Dezimalbrüche, das Robin Harff aus Bieber und Alexander Stock aus Kassel (Biebergemünd) entdeckten, war mir bislang völlig unbekannt. Robin und Alexander besuchten die Grimmelshausenschule Gelnhausen und gingen damals in die 7. Klasse.
Das Verfahren ist für Periodenlängen >0 mit dem herkömmlichen Verfahren äquivalent, kommt jedoch mit nur einem Bruch und einer einzigen Subtraktion von Ganzzahlen aus (abgesehen vom Kürzen des Bruchs am Schluß). Es funktioniert nicht bei Brüchen, die keinen periodischem Teil enthalten (siehe Beweis unten), es sei denn, man ergänzt eine Periode aus Nullen.

So funktioniert's:
In den Zähler schreibe einfach alle Ziffern des Dezimalbruchs einschließlich der Ganzzahl und ohne Komma und subtrahiere davon den nichtperiodischen Teil. Der Nenner setzt sich (wie oben) aus sovielen Neunen zusammen, wie der periodische Teil lang ist, gefolgt von sovielen Nullen, wie der nichtperiodische Teil hinter dem Komma lang ist.

Beispiel:
                      ———     432451762 - 432451     432019311     144006437
               4,32451762 =  ———————————————————— = ——————————— = ———————————
                                  99900000            99900000      33300000

→ Umwandeln eines Bruches in einen Dezimalbruch durch Division
→ Berechnen der Periodenlänge

Begründung für das erste Verfahren

Daß man nichtperiodische Dezimalzahlen mit Brüchen darstellen kann, deren Nenner aus Zehnerpotenzen bestehen, liegt klar auf der Hand und folgt aus dem Wesen der Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind Zahlen im Stellenwertsystem zur Zahlenbasis 10, d.h. jede Ziffer eines Dezimalbruchs repräsentiert gerade ein Vielfaches eines Bruchs mit einer Potenz von 10 im Nenner.

Interessanter ist der periodische Teil von Dezimalbrüchen. Warum läßt sich beispielsweise der periodische Dezimalbruch 0,435643564356... durch den Bruch 4356/9999 darstellen?

Um der Sache auf den Grund zu gehen, werden wir die Sache zunächst etwas verallgemeinern und anstelle konkreter Zahlen-Ziffern die Buchstaben abcd verwenden. Jeder dieser Buchstaben steht für eine Zahl von 0 bis 9.
abcd ist somit eine maximal vierstellige Zahl. (Sie ist dreistellig, falls a=0, zweistellig, falls a=b=0, usw.)
Wir nehmen außerdem an, daß nicht alle vier Ziffern gleich 9 sind, denn 9999/9999=1, was zunächst uninteressant ist.

Was passiert nun bei der schriftlichen Division abcd:9999? Da abcd<9999, paßt 9999 keinmal in abcd hinein. Wir schreiben, wie bei der ausführlichen schriftlichen Division üblich, den Subtrahenden 0 hin, "berechnen" den Rest durch Abschreiben von abcd und "holen eine Null herunter". Dabei betreten wir den Raum rechts vom Komma und müssen daher im Quotienten das Komma setzen:

           abcd : 9999 = 0,
          -   0
           ————
           abcd0

Nun paßt 9999 a-mal in abcd0 hinein, denn a·10000 = a0000, was sicherlich kleiner oder gleich abcd0 ist. Nun ist a·9999 = a(10000-1) = a0000 - a.

(Ein Faktor x größer als a ergäbe x0000 - x, was sicher größer als abcd0 ist, denn x kann höchstens 9 sein, womit a höchstens 8 wäre, und x0000-x wäre 89991, was größer als die maximale Möglichkeit 89990 für abcd0 ist.)

Wenn man den Ausdruck  a0000 - a  in der schriftlichen Division vom letzten Rest abcd0 abziehen will, dann muß man beachten, daß   abcd0 - (a0000 - a) = abcd0 - a0000 + a  ist:

           abcd : 9999 = 0,a
          -   0
           ————
           abcd0
          -a0000
          +    a
          ——————
            bcda

Wir stellen fest, daß sich die erste Ziffer a im Rest "hinten angestellt" hat!
Logischerweise wird sich das im nächsten Schritt mit b wiederholen, d.h. die nächste Ziffer im Quotienten wird b sein, das sich im Rest seinerseits nach hinten gesellt:

           abcd : 9999 = 0,ab
          -   0
           ————
           abcd0
          -a0000
          +    a
          ——————
            bcda0
           -b0000
           +    b
           ——————
             cdab

So geht das Spiel munter und ohne Ende weiter! Denn nachdem im übernächsten Schritt d nach hinten gerückt ist, hört die Sache nicht etwa auf, sondern fängt mit a wieder von vorne an. Damit ergibt abcd/9999 also tatsächlich 0,abcdabcdabcdabcd...

Auf der Seite zur Darstellung schriftlicher Divisionen (Rechner) lassen sich diese zyklischen Umordnungen der Ziffern in den Resten bei Divisionen durch Nenner, die nur aus Neunen bestehen, an vielen Beispielen studieren.

Eine nicht direkt nach dem Komma beginnende Periode erfordert lediglich, den Nenner sooft mit 10 zu multiplizieren, wie der Periodenanfang nach rechts wandern soll. Bei abcd/999900 beginnt die Periode erst an der dritten Stelle hinter dem Komma:

           abcd : 999900 = 0,00abcd...
          -   0
           ————
           abcd0
               0
           —————
           abcd00
                0
           ——————
           abcd000  *
          -a000000
          +    a00    <—— denn:  -a·999900 = -a·(1000000 - 100) = -a000000 + a00
          ————————
            bcda000
           -b000000
           +    b00
           ————————
             cdab000
            -c000000
            +    c00
            ————————
              dabc000
             -d000000
             +    d00
             ————————
               abcd000   <——  dieser Rest trat bei * schon auf, daher Periode!
                   ...   
              

Beweis der Äquivalenz beider Verfahren für periodische Dezimalbrüche

Der periodische Dezimalbruch b bestehe aus dem ganzzahligen Teil g, dem nichtperiodischen Teil q und dem periodischen Teil p, wobei diese Variablen jeweils für die dezimale Ziffernfolge ohne Komma stehen. Die "Länge" von p (d.h. die Anzahl der Ziffern, die die Periode p enthält) sei m, die "Länge" von q sei n.

Damit läßt sich die herkömmliche Schreibweise so darstellen:

      g·10n + q            p
 b = ———————————  +  —————————————
          10n         (10m - 1)·10n    ←⎯⎯ Bsp.: 99999 = 105-1

Die Brüche werden gleichnamig gemacht, indem der linke Bruch mit (10^m-1) erweitert wird.

      (g·10n + q)(10m - 1)          p             (g·10n + q)(10m - 1)  +  p
 b = ————————————————————  +  ————————————  =   ————————————————————————————
         10n·(10m - 1)         (10m - 1)·10n               (10m - 1)·10n

Ausmultiplizieren der Klammer und Umsortieren ergibt:

        g·10n·10m - g·10n + q·10m - q + p        g·10n·10m + q·10m + p - (g·10n + q)
 b =   ——————————————————————————————————  =  —————————————————————————————————————
                   (10m - 1)·10n                            (10m - 1)·10n

Nun ist g·10^n·10^m + q·10^m + p nichts anderes als die komplette Zahlenfolge des Dezimalbruchs einschließlich der Periode, und g·10^n + q ist die nichtperiodische Ziffernfolge, bestehend aus Ganzzahl und nichtperiodischen Kommazahlen. Es ist also der Ansatz aus Verfahren 2, womit die Äquivalenz unter der Voraussetzung m>0 (m ist die Periodenlänge!) gezeigt ist.

Wegen der Erweiterung des linken Bruchs mit 10^m-1 im ersten Schritt darf m nicht 0 sein, denn 10^0-1=1-1=0, und eine Erweiterung mit 0 ergibt den nicht definierten Ausdruck 0/0.