Unter Bruchtermen versteht man eigentlich nur solche Terme mit Brüchen, bei denen die Variable auch im Nenner vorkommt. Also gibt es in der Gleichung
x 2x 7 ——— + ———— = ———— 3 11 17
eigentlich keinen Bruchterm, und somit wäre es keine Bruchgleichung. Doch die Behandlung, d.h. die mathematischen Techniken bei der Vereinfachung und Auflösung, sind die selben, insofern machen wir hier mal diesen Unterschied nicht.
Wie addiert man Brüche? Indem man die Nenner gleichnamig macht und dann die Zähler addiert. Das Gleichnamigmachen (bei beiden Brüchen gleiche Nenner) geht durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Das kgV von 3 und 11 ist 33, also:
x 11x
——— = ———— erweitert mit 11
3 33
2x 6x
———— = ———— erweitert mit 3
11 33
x 2x 11x 6x 17x
——— + ———— = ————— + ———— = —————
3 11 33 33 33
Und damit kann man die linke Seite von
x 2x 7
——— + ———— = ————
3 11 17
vereinfacht so schreiben:
17x 7
————— = ————
33 17
Generell gilt: Nenner und damit Brüche beseitigt man durch Multiplizieren der Gleichung nacheinander mit allen Nennern (oder in einem Schritt mit dem kgV der Nenner)
17x 7
————— = ———— | · 33
33 17
231
17x = ———— | · 17
17
289x = 231 | : 289
x = 0,799307958477509...
231
oder besser: x = —————
289
Beim Kürzen von Bruchtermen müssen im Zähler und im Nenner bei allen Summanden gleiche Faktoren vorkommen (nicht irgendwo gleiche Summanden!):
Bei
3x + 3y
—————————
6x + 3y
kommen zwar oben und unten jeweils x und y vor, gekürzt können die Variablen aber nicht werden, weil keine Variable in allen Summanden gleichzeitig vorkommt! (3x und 3y sind die Summanden im Zähler, 6x und 3y sind die Summanden im Nenner.) Man kann aber ÜBERALL den Faktor 3 herauskürzen:
3x + 3y 3·(x + y) x + y
————————— = ———————————— = ————————
6x + 3y 3·(2x + y) 2x + y
Versuche, alle Schritte bis ins Kleinste nachzuvollziehen und zu verstehen. So etwas mußt Du nicht selbst machen, aber Du solltest verstehen, wie es gemacht wird. Daran kannst Du sicher etwas lernen:
Die folgende Formel soll nach x aufgelöst werden:
1 2 3 ——— = ——————— — ——————— a x + 1 b — 1
a und b stehen für irgendwelche Zahlen. Leider weiß man nicht, für welche, daher muß man mit a und b rechnen und kann sie nicht durch Zahlen ersetzen.
Die Nenner stören, also wird die Gleichung nacheinander mit den Nennern multipliziert. Dadurch fällt der Nenner logischerweise jeweils bei dem Term weg, der vorher diesen Nenner enthielt. Im Zähler DIESES Terms ändert sich nichts, weil ja gekürzt wurde, d.h. die Multiplikation eliminiert hier nur den Nenner. Aber nicht vergessen, bei allen anderen Termen den Faktor zum Zähler dazu zu multiplizieren!
1 2 3
——— = ——————— — ——————— | · a
a x + 1 b — 1
2a 3a
1 = ——————— — ——————— | · (x + 1)
x + 1 b — 1
3a · (x + 1)
1·(x + 1) = 2a — —————————————— | Vereinfachen
b — 1
3ax + 3a
x + 1 = 2a — ——————————— | ·(b — 1)
b — 1
Obacht! Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer! Falls vor dem Bruchstrich ein Minuszeichen steht, muß der Zähler unbedingt eingeklammert werden, wenn der Nenner wegfällt!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(x + 1)·(b — 1) = 2a·(b — 1) — 3ax + 3a | Klammmern auflösen
xb — x + b — 1 = 2ab — 2a — 3ax — 3a | + 3ax (alles, was mit x zu tun hat,
nach links, den Rest nach
rechts bringen)
xb — x + 3ax + b — 1 = 2ab — 2a — 3a | V
xb — x + 3ax + b — 1 = 2ab — 5a | — b + 1
xb — x + 3ax = 2ab — 5a — b + 1 | links wird x ausgeklammert,
da es ja alleine stehen soll
x·(b — 1 + 3a) = 2ab — 5a — b + 1 | : (b — 1 + 3a)
2ab — 5a — b + 1
x = —————————————————— sortieren:
b — 1 + 3a
2ab — 5a — b + 1
x = —————————————————— kürzen nicht mehr möglich.
3a + b — 1
Ein wenig einfacher, auch wenn es gar nicht so aussieht, und fast vom Schwierigkeitsgrad der Arbeit (eigentlich leider noch ein wenig zu schwer) ist das nächste Beispiel:
3x — x2 4 + 4x —45ax3
————————— — ———————— = ——————————— + 2
x 2 15ax2 + 5ax
Im ersten Term kann x gekürzt werden, im zweiten 2 und im dritten 5ax. Vorsicht: Minus vorm Bruchstrich heißt: Klammer setzen!
—9x2
3 — x — (2 + 2x) = ———————— + 2 | Klammer auflösen
3x + 1
—9x2
3 — x — 2 — 2x = ———————— + 2 | Zusammenfassen
3x + 1
—9x2
1 — 3x = ———————— + 2 | ·(3x + 1)
3x + 1
(3x + 1)·(1 — 3x) = —9x2 + 6x + 2 | Klammer ausmultiplizieren
(Jedes mit jedem)
3x - 9x2 + 1 — 3x = —9x2 + 6x + 2 | Vereinfachen (3x hebt sich gegen -3x auf)
-9x2 + 1 = —9x2 + 6x + 2 | + 9x2
1 = 6x + 2 | — 2
—1 = 6x | :6
-1/6 = x
Mitgekommen????
Es sind immer die selben Techniken: Mit den Nennern malnehmen, vereinfachen durch Auflösen von Klammern, d.h. Ausmultiplizieren oder Auflösen von Minusklammern, Dinge auf andere Seiten bringen usw...
Etwas anderes:
Man darf bekanntlicherweise nicht durch Null teilen!
Im Rechenausdruck
23x - 1
—————————
10 — 2x
...darf also der Nenner nicht Null sein, und das ist er nur dann, wenn x = 5 ist. Für alle anderen Werte von x ist der Nenner nicht Null, und man könnte den Term berechnen oder weiterverarbeiten.
Man sagt daher, der Term ist definiert für alle Zahlen (alle Reellen Zahlen) außer denen, bei denen es nicht erlaubt ist, weil z.B. ein Nenner Null wird, hier nämlich ist das bei der 5 so:
D = R \ {5}
Das große D ist dabei der Definitionsbereich oder die Definitionsmenge, und
das R steht für die Menge der Reellen Zahlen, darin sind die Rationalen Zahlen
(Brüche) enthalten und die Irrationalen Zahlen (Menge der Zahlen, die
sich nicht durch Brüche darstellen lassen, so wie beispielsweise die Wurzeln aus
allen Primzahlen.) Das Zeichen \ bedeutet "ohne" oder "außer", so daß sich der
Ausdruck
"Der Definitionsbereich ist
die Menge der Reellen Zahlen ohne die 5".
4x + 1 3x
———————— = ————
x — 11 -5
x = 11 macht den ersten Nenner zu Null
daher:
D = R \ {11}
1
———————— = 34
x2 + 2
Der erste Nenner kann nie Null werden, denn
x2 ist immer größer oder gleich Null,
und daher ist der Nenner insgesamt immer größer gleich 2.
somit: D = R
2x - 4 x
3x + ———————— — —————————— = 23x
x 4x + 100
x = 0 macht den ersten Nenner zu Null
x = —25 macht den zweiten zu Null.
daher:
D = R \ { —25 ; 0 }
1 - 34x 7x - 3 2 — 4x + 3x²
————————— + ————————— = —————————————————
3x 3x - 7 (x + 2)·(2x — 5)
x = 0 macht den ersten Nenner zu Null
x = 7/3 = 2,333333333333... macht den zweiten zu Null
x = -2 macht den dritten zu Null, da der erste Faktor Null ist, was
den ganzen Nenner zu Null macht
x = 2,5 macht ebenfalls den dritten Nenner zu Null, da dadurch der
zweite Faktor und damit das Produkt Null wird
daher:
D = R \ { -2 ; 0 ; 7/3 ; 2,5 }
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