n=2    →Zufallswerte

n=3    →Zufallswerte

Quadriken

Quadriken sind im R³ Gleichungen der Form a₉x² + a₈y² + a₇z² + a₆xy + a₅xz + a₄yz + a₃x + a₂y + a₁y + a₀ = 0. Sie beschreiben die Rotationsflächen von Kegelschnitten: Kugel, Rotationsellipsoid, -paraboloid, und -hyperboloid. Schreibt man sie in der Form a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + a₃₃z² + 2a₀₁x + 2a₀₂y + 2a₀₃y + a₀₀ = 0, so kann die Gleichung in Matrixform so geschrieben werden:

Die Eigenvektoren der symmetrischen 3×3-Matrix A=(a_ij) dienen der sogenannten Hauptachsentransformation, einer linearen Abbildung, mit der die Matrix in Diagonalform gebracht werden kann, so daß in der entsprechenden Quadrikgleichung nach einer geeigneten Drehung nur noch die rein quadratischen und zunächst noch die linearen Summanden vorkommen, die gemischten aber verschwinden: a'₁₁x² + a'₂₂y² + a'₃₃z² +2a₀₁x + 2a'₀₂y + 2a'₀₃z + a'₀₀ = 0. Die auf den Betrag 1 normierten Eigenvektoren ergeben die Spalten der Drehmatrix B, mit der die o.g. Matrixgleichung in diese Form gebracht werden kann: Aus x^TAx + 2(a₀₁ a₀₂ a₀₃)x + a₀₀ wird dabei x^T(B^TAB)x + 2((a₀₁ a₀₂ a₀₃)B)x + a₀₀. Die quadratischen Koeffizienten a'₁₁, a'₂₂, und a'₃₃ der auf die Hauptachsen transformierten Quadrik ergeben sich aus B^TAB. Durch eine geeignete Verschiebung (Substitution beispielsweise von x durch x-x₁ für die Verschiebung um x₁) können die linearen Glieder jener Variablen elimiert werden, die mit quadratischen Summanden vertreten sind.

Im R² werden durch Gleichungen der Form a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₀₁x + 2a₀₂y + a₀₀ = 0 mit analoger Matrixdarstellung alle Kegelschnitte beschrieben.

Ausprobieren:      → Beispiel R³     → Beispiel R²

(Quadrik-)Gleichung: R², falls z fehlt