Kubische Splines

Ein kubischer Spline ist eine glatte Kurve, die durch gegebene Punkte im Koordinatensystem geht und eine minimale Gesamtkrümmung aufweist. Jedes Teilstück ist dabei durch eine kubische Parabel a_ix³ + b_ix² + c_ix + d_i mit geeigneten Koeffizienten a_i, b_i, c_i und d_i definiert.

"Glatte Kurve" bedeutet dabei im mathematischen Sinne, daß die Kurve zweimal stetig differenzierbar sein soll. Alle gegebenen Punkte stellen als Stützstellen der Kurve sozusagen auch Nahtstellen zwischen den Teilkurven dar, in denen jeweils beide Funktionswerte, beide erste und auch zweite Ableitungen der zusammentreffenden Teilkurven übereinstimmen. Diese Naht- oder Stützstellen werden auch Knoten genannt.

Es seien n+1 Punkte (x₀|y₀), (x₁|y₁) ... (x_n|y_n) gegeben, wobei x₀ < x₁ <... < x_n gelte.

Zur Gewinnung der Koeffizienten definiert man geeigneterweise die n Teilstücke des Splines mit S_i(x) = a_i(x-x_i)³ + b_i(x-x_i)² + c_i(x-x_i) + d_i, wobei 0 ≤ i < n ist und S_i(x) das Kurvenstück zwischen den Punkten (x_i|y_i) und (x_i+1|y_i+1) darstellt.

Da die Teilstücke in den gegebenen Punkten nahtlos ineinander übergehen, gilt S_i-1(x_i) = S_i(x_i) = y_i für 1 < i ≤ n.

Aus S_i(x_i) = y_i folgt sofort d_i = y_i, denn in S_i(x_i) = a_i(x_i-x_i)³ + b_i(x_i-x_i)² + c_i(x_i-x_i) + d_i = y_i werden alle (x_i-x_i) Null.

Außerdem gilt wegen S_i-1(x_i) = S_i(x_i):
a_i-1(x_i-x_i-1)³ + b_i-1(x_i-x_i-1)² + c_i-1(x_i-x_i-1) + d_i-1 = a_i(x_i-x_i)³ + b_i(x_i-x_i)² + c_i(x_i-x_i) + d_ialso:
a_i-1(x_i-x_i-1)³ + b_i-1(x_i-x_i-1)² + c_i-1(x_i-x_i-1) + d_i-1 = d_i (I)

In allen gegebenen Punkten haben die anstoßenden Teilkurven gleiche Tangenten, es gilt also S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i), wobei die Ableitung S'_i(x) = 3a_i(x-x_i)² + 2b_i(x-x_i) + c_i ist. Hieraus gewinnt man

                         S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i)
3a_i-1(x_i-x_i-1)² + 2b_i-1(x_i-x_i-1) + c_i-1 = 3a_i(x_i-x_i)² + 2b_i(x_i-x_i) + c_i
3a_i-1(x_i-x_i-1)² + 2b_i-1(x_i-x_i-1) + c_i-1 = c_i                 (II)

Schließlich haben die anstoßenden Teilkurven in allen gegebenen Punkten auch gleiche Krümmungen, es gilt also S"_i-1(x_i) = S"_i(x_i), wobei die 2. Ableitung S"_i(x) = 6a_i(x-x_i) + 2b_i ist. Hieraus gewinnt man

           S"_i-1(x_i) = S"_i(x_i)
6a_i-1(x_i-x_i-1) + 2b_i-1 = 6a_i(x_i-x_i) + 2b_i
6a_i-1(x_i-x_i-1) + 2b_i-1 = 2b_i

Aus dieser Gleichung folgt

       b_i - b_i-1
a_i-1 = ——————————                  (III)
       3(x_i-x_i-1)

(III) in (II) eingesetzt ergibt

(b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1) + 2b_i-1(x_i-x_i-1) + c_i-1 = c_i
(b_i+b_i-1)(x_i-x_i-1) + c_i-1 = c_i                (IV)

(III) in (I) eingesetzt:

(b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1)²/3 + b_i-1(x_i-x_i-1)² + c_i-1(x_i-x_i-1) + d_i-1 = d_i
(b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1)/3 + b_i-1(x_i-x_i-1) + c_i-1 + d_i-1/(x_i-x_i-1) = d_i/(x_i-x_i-1) 
(b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1)/3 + b_i-1(x_i-x_i-1) + c_i-1 = (d_i-d_i-1)/(x_i-x_i-1)               
c_i-1 = (d_i-d_i-1)/(x_i-x_i-1) - (b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1)/3 - b_i-1(x_i-x_i-1)              (V)

c_i = (d_i+1-d_i)/(x_i+1-x_i) - (b_i+1-b_i)(x_i+1-x_i)/3 - b_i(x_i+1-x_i)                (V')

(V) und (V') in (IV) eingesetzt:

(b_i+b_i-1)(x_i-x_i-1) + (d_i-d_i-1)/(x_i-x_i-1) - (b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1)/3 - b_i-1(x_i-x_i-1) 
                              = (d_i+1-d_i)/(x_i+1-x_i) - (b_i+1-b_i)(x_i+1-x_i)/3 - b_i(x_i+1-x_i)

3(b_i+b_i-1)(x_i-x_i-1) + 3(d_i-d_i-1)/(x_i-x_i-1) - (b_i-b_i-1)(x_i-x_i-1) - 3b_i-1(x_i-x_i-1) 
                              = 3(d_i+1-d_i)/(x_i+1-x_i) - (b_i+1-b_i)(x_i+1-x_i) - 3b_i(x_i+1-x_i)

(x_i-x_i-1)b_i-1 + 2(x_i+1-x_i-1)b_i + (x_i+1-x_i)b_i+1 = 3((d_i+1-d_i)/(x_i+1-x_i) - (d_i-d_i-1)/(x_i-x_i-1))      (VI)

Wegen d_i=y_i ist die rechte Seite von (VI) für i>0 und i<n bekannt. Weil auch alle entsprechenden x bekannt sind, lassen sich die b_i für 0<i<n mit einem linearen Gleichungssystem aus allen Gleichungen (VI) gewinnen. b₀ und b_n sind die halben Krümmungen im ersten und im letzten Punkt, die frei vorgegeben werden können und hier mit 0 angenommen werden. (Der Koeffizient b_n taucht zwar in keinem Spline auf, wird jedoch zur Berechnung von a_n-1 und c_n-1 benötigt.)

Die Koeffizientenmatrix der linken Seite des Gleichungssystems stellt sich für b₀=b_n=0 wie folgt dar:

	b₁	b₂	b₃	b₄	...	b_n-3	b_n-2	b_n-1
i=1	2(x₂-x₀)	x₂-x₁	0	0	...	0	0	0
i=2	x₂-x₁	2(x₃-x₁)	x₃-x₂	0	...	0	0	0
i=3	0	x₃-x₂	2(x₄-x₂)	x₄-x₃	...	0	0	0
...	...	...	...	...	...	...	...	...
i=n-2	0	0	0	0	0	x_n-2-x_n-3	2(x_n-1-x_n-3)	x_n-1-x_n-2
i=n-1	0	0	0	0	0	0	x_n-1-x_n-2	2(x_n-x_n-2)

Die rechte Seite ergibt sich aus (VI) für die angegebenen Indizes.

Die Lösungen rückwärts in (V) und (III) eingesetzt, ergeben sich die Koeffizienten c_i und a_i.

Rechner für kubische Splines

→Zufallswerte

Wertetabelle

alle kubischen Funktionen komplett plotten Skalierung: →1:1 | →auto

2. Ableitungen in Anfangs- und Endpunkt festlegen:		x =
Erster Punkt: S"(x₀)=	Letzter Punkt: S"(x_n)=
Koeffizienten:		S(x) =

Eingabehinweise
Die Werte können durch Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenwechsel voneinander getrennt eingegeben werden, auch Tabulatoren werden richtig interpretiert, so daß Tabellen aus einer Tabellenverarbeitung importiert werden können.
Je nach Wahl des Koeffizientenmodus erfolgt die Berechnung im Fließkomma- oder im Brüchemodus. Letzterer ist genau, solange Zähler und Nenner während der Berechnung nicht zu groß werden (Grenze bei etwa 10¹⁵), allerdings auch wesentlich langsamer. Die Wertepaare werden dem Modus entsprechend angepaßt und stets auch nach x-Werten geordnet. Die Umwandlung Komma- nach Bruchzahlen erfolgt mit einem Kettenbruchalgorithmus.
Werden beim Interpolieren Brüche eingegeben, erfolgt auch die Ausgabe in Brüchen — diese können allerdings bei großen Nennern nur angenähert sein. Wird bei ganzzahligen x-Werten eine Bruch-Ausgabe gewünscht, so können die x-Werte leicht mit dem Nenner 1 eingegeben werden.
Das Interpolieren ist nur innerhalb des Definitionsbereichs möglich.
Für den ersten und den letzten Punkt können Krümmungswerte (Werte der zweiten Ableitung im ersten und im letzten Punkt) vorgegeben werden.

Nullstellen:
Extremstellen:
Wendestellen:

Flächenintegral

Volumenintegral

Kurvenintegral (approximiert)


∫	S(x)	dx =


π	∫	S(x)²	dx =

∫

√(1+S'(x)²)

automatisch berechnen

Genauigkeit:10

© Arndt Brünner, 1. 10. 2003
Version: 2. 4. 2006 — einen Index in der Zeile vor (I) korrigiert am 29. 10. 2006
Javascript-Graphik: 23. 1. 2018

Gleicher Rechner, aber große Graphik
Alte Java-Version
Applet Splineinterpolation für parametrisierte Kurven
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