Die Kongruenzsätze besagen, daß ein Dreieck eindeutig konstruiert werden kann, wenn eine dieser Kombinationen an gegebenen Maßen vorliegt:
Mit diesem Formular können die wichtigsten Maße von Dreiecken
berechnet werden, die durch die passende Angabe von drei Größen gegeben
sind. Außer den drei Seiten und den drei Winkeln sind das die Längen der drei
Höhen auf a (ha), b (hb) und c (hc), der
Flächeninhalt, sowie die Radien von Umkreis und Inkreis.
(Informationen über
Rechenweg und Formeln finden sich unten.)
Einfach in die Felder der linken Spalte die gegebenen Maße eintragen; sobald das Dreieck eindeutig gegeben ist, werden alle fehlenden Maße automatisch berechnet.
Ihr könnt euch also Aufgaben überlegen, Dreiecke konstruieren und durch Messen der Seiten, Winkel, Höhen und Radien überprüfen, ob die Konstruktion stimmt (6.-9. Klasse). Zur Erinnerung: Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, und der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Unten auf der Seite wird der genaue Rechenweg für alle Fälle erklärt und in dem großen Textfenster für den gerade berechneten Fall (ab 10. Klasse).
Matheseiten-Übersicht
Kosinussatz
Sinussatz
Herons
Formel
größerer
Rechner für Dreiecke (Eingabe aller Werte möglich)
Berechnung
rechtwinkliger Dreiecke
Berechnung
von sphärischen Dreiecken
Berechnung
von Rechtecken
zurück
Graphik:
Einstellungen Seitenhalbierenden zeichnenWinkelhalbierenden zeichnen Mittelsenkrechten zeichnen Höhen zeichnen nur innenliegende Höhen Umkreis zeichnen Inkreis zeichnen
Das Dreieck kann per Maus verschoben und an jedem Eckpunkt um seinen Schwerpunkt gedreht werden. |
© Arndt Brünner, Gelnhausen, 27. Mai 2001 — Version: 20. 3. 2003 —
Graphik: 8. 12. 2018
eMail: [email protected]
berechne Höhen mit
ha = b * sin(γ)
hb = c * sin(α)
hc = a * sin(β)
berechne Umfang mit
u = a + b + c
berechne Fläche mit
A = a * ha / 2
oder A = b * hb / 2 oder A = c *
hc / 2
oder mit Herons
Formel
s = u / 2
A =
sqr(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
berechne Umkreisradius
rUmkreis = a /
(2 * sin(α) oder mit
rUmkreis
= (b / 2) / cos((α - β + γ) / 2)
berechne Inkreisradius
rInkreis = c *
sin(α / 2) * sin(β / 2) / sin((α + β) / 2)
Weitere Formeln
Flächeninhalt:
A = a·b·sin(γ)/2
= b·c·sin(α)/2
= c·a·sin(β)/2
= 2·rUmkreis·sin(α)^3
= rInkreis·u/2
Inkreisradius:
rInkreis = √((s - a)·(s
- b)·(s - c)/s) mit s = u/2
=
s·tan(α)·tan(β)·tan(γ)
=
4·rUmkreis·sin(α/2)·sin(β/2)·sin(γ/2)
Seitenhalbierende:
sa = √(b² + c² +
2·b·c·cos(α))/2
sb = √(c² + a² +
2·c·a·cos(β))/2
sc = √(a² + b² +
2·a·b·cos(γ))/2
sa = √(2·(b² + c²) -
a²)/2
sb = √(2·(c² + a²) - b²)/2
sc = √(2·(a² + b²) - c²)/2
Winkelhalbierende:
wa =
2·b·c·cos(α/2)/(b + c)
wb =
2·c·a·cos(β/2)/(c + a)
wc =
2·a·b·cos(γ/2)/(a + b)
Beachte stets die Lage der Seiten und Winkel: a, b und c laufen gegen den Uhrzeigersinn, ebenso die Winkel α, β und γ. a liegt gegenüber von α, b gegenüber von β, c gegenüber von γ. α liegt beim Punkt A, den man in der Regel unten links zeichnet.
SWW und WWS
• berechne
den dritten Winkel (die Summe der Winkel beträgt 180°)
• weiter wie
bei WSW
WSW
• zeichne die Seite
•
zeichne Halbgeraden an die Eckpunkte der Strecke mit den gegebenen Winkeln zur
Strecke
• der Schnittpunkt der Halbgeraden ist der dritte Punkt
SsW und WsS
• zeichne
die kleine Seite
• zeichne einen Schenkel im gegebenen Winkel an den
richtigen Eckpunkt der Seite
• zeichne einen Kreisbogen um den
anderen Eckpunkt der kleinen Seite mit dem Radius der Seitenlänge der großen
Seite auf den Winkelschenkel
• der Schnittpunkt von Kreisbogen und
Winkelschenkel ist der dritte Punkt
SWS
• zeichne eine Seite
•
zeichne die zweite Seite im angegebenen Winkel zur ersten
• verbinde
die freien Enden der Seiten
SSS
• zeichne eine Seite
•
zeichne um die Eckpunkte Kreise mit den Radien der anderen beiden Seiten
• ein Schnittpunkt der Kreise ist der dritte Punkt (Orientierung
beachten)
→ Konstruktion mit den drei Seitenhalbierenden
© Arndt Brünner, 2000
Version:
31. 10. 2005
Graphik: 8. 12. 2018